El atractor mariposa

Claudio M. Enrique
cenrique@fiqus.unl.edu.ar; cenriquear@yahoo.com.ar

Hace un tiempo escribí un artículo en este Boletín relacionado con la Teoría del Caos, los Sistemas Oscilatorios y la Dinámica de Sistemas, donde hacía hincapié en la utilidad que presenta ésta última como herramienta para introducir el estudio de la mencionada Teoría en cursos universitarios de grado y, por que no, en niveles de secundario.

En este trabajo se presenta un "pasito" más en el empleo de la DS para el estudio del Caos, donde se realiza un análisis particular de un atractor de los más conocidos: el atractor mariposa o de Lorenz.

Antes, vamos a recordar que un atractor es una singularidad en el espacio de acción donde ocurre un fenómeno, hacia el cual convergen las trayectorias de una dada dinámica, que encuentran en su atractor una condición local de mínima energía. La existencia de un atractor se puede detectar observando la disipación de algún tipo de energía. El atractor de un péndulo oscilando libremente es su punto más bajo, y es puntual. Además de atractores puntuales, existen atractores cíclicos - o ciclos límites - y atractores caóticos o atractores extraños - el conjunto límite de una trayectoria caótica -. El concepto opuesto es un repulsor, que está asociado con la inestabilidad de una esfera ubicada en el pico de una montaña.

El comportamiento del modelo de Lorenz se puede representar trazando sus variables en el espacio de fase. Es decir que para cada cálculo sucesivo de x, y, y z, se traza el punto correspondiente en un espacio de ejes xyz. En un sistema lineal este trazado puede dibujar una trayectoria conducente a un único punto de estabilidad, o alternativamente puede dibujar un bucle cerrado que indica una variación periódica.

El atractor de Lorenz es uno de los que pertenecen a un conjunto denominado como atractores desconocidos. Si bien no es una estructura geométrica sencilla, tampoco resulta ser una curva complicada. Se caracteriza porque nunca se intersecta a sí mismo ni repite la misma trayectoria. Proyectado en el plano xz, el atractor se parece a una mariposa; mientras que en el plano yz, se asemeja a una máscara de lechuza. La proyección en el palno xy resulta útil para percibir la tridimensionalidad de este atractor. Puntualmente, para estudiar este atractor, he empleado las siguientes ecuaciones :

dx/dt = -s x + s y

dy/dt = -x y + r x - y

dz/dt = x y - b z

donde s; b; y r son tres constantes que determinan el comportamiento del sistema.

Para el modelo empleado, se usaron los valores siguientes para las constantes: s =10; b = 8 / 3; r = 28

El modelo de Dinámica de Sistemas que he creado para estudiar al atractor mariposa es el siguiente:

que me ha permitido obtener estas representaciones gráficas:

Si bien este artículo es de carácter introductorio, resulta evidente que el uso de la Dinámica de Sistemas puede favorecer enormemente el proceso de enseñanza - aprendizaje sobre la Teoría del Caos, y sin tantas complicaciones vinculadas con la Matemática. Espero que este artículo contribuya para tales fines educativos.